最速降线 (Brachistochrone)

斯涅耳定律 (Snell’s Law)

• 费马时间最短原理 (Fermat’s Principle): 光在介质中传播时，总是沿着所需时间最短的路径进行。
• 数学表达: $\frac{\sin \theta_1}{v_1} = \frac{\sin \theta_2}{v_2}$

伯努利的证明

• 核心思路: 假设光在连续介质中传播，利用费马原理推导最速降线。
• 结论: 最速降线为摆线 (Cycloid)。

其他相关研究方法与结论

• 高斯坐标系的解: 利用坐标变换求解最速降线问题。
• 连续投影: 通过投影几何分析路径特性。
• 特殊情况: 若重力垂直于圆，则最速降线变为圆弧。