齐次坐标详解

齐次坐标 (Homogeneous Coordinates)

齐次坐标是计算机图形学中用于表示点和向量的一种坐标系统。通过在 n 维坐标中增加一个额外的分量，使得原本需要用矩阵加法表示的平移变换，可以统一用矩阵乘法来表示。

定义

对于一个二维点 $(x, y)$，其齐次坐标表示为 $(x, y, w)$，其中 $w$ 通常取 1。 对于一个三维点 $(x, y, z)$，其齐次坐标表示为 $(x, y, z, w)$。

核心优势

1. 统一变换：将旋转、缩放、平移等仿射变换统一为矩阵乘法。
2. 区分点与向量：
   • 当 $w = 1$ 时，表示一个点 (Point)。
   • 当 $w = 0$ 时，表示一个向量 (Vector)，即平移变换对向量无效。
3. 透视投影：在三维图形渲染中，通过 $w$ 分量实现透视除法，从而产生近大远小的视觉效果。